Leyes del álgebra elemental

Propiedades de las operaciones

La operación de adición (+)
- se escribe $\, a + b$
- es conmutativa: $\, a + b = b + a$
- es asociativa: $\, (a + b) + c = a +(b + c)$
- tiene una operación inversa llamada sustracción: $\, (a + b)- b = a$ , que es igual a sumar un número negativo, $\, a-b = a +(-b)$
- tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: $\, a + 0 = a$

La operación de multiplicación (×)
- se escribe $\, (a \times b)$ ó $\,( a \cdot b )$
- es conmutativa: $\, (a \cdot b )$ = $\, (b \cdot a)$
- es asociativa: $\, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- es abreviada por yuxtaposición: $a \cdot b \equiv ab$
- tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: $\frac{(ab)}{b} = a$ , que es igual a multiplicar por el recíproco, $\frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)$
- tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: $a \times 1 = a$
- es distributiva respecto la adición: $\, (a + b) \cdot c = ac + bc$

La operación de potenciación
- se escribe $\, a^{b}$
- es una multiplicación repetida: $a^{n} = a \times a \times \ldots \times a$ (n veces)
- no es ni comutativa ni asociativa: en general $\, a^{b} \ne b^{a}$ y $\, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}$
- tiene una operación inversa, llamada logaritmo: $\, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}$
- puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: $\ a^{m/n} \equiv (\sqrt[n]{a^{m}})$ y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
- es distributiva con respecto a la multiplicación: $\, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$
- tiene la propiedad: $\ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}$
- tiene la propiedad: $\, (a^{b})^{c} = a^{bc}$

[editar]Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o precedencia de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.

[editar]Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

reflexiva: $\, a = a$
simétrica: si $\, a = b$ entonces $\, b = a$
transitiva: si $\, a = b$ y $\, b = c$ entonces $\, a = c$

[editar]Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

si $\, a = b$ y $\, c = d$ entonces $\, a + c = b + d$ y $\, ac = bd$
si $\,a = b$ entonces $\, a + c = b + c$
si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si $\, a + c = b + c$ entonces $\, a = b$ .
regularidad condicional de la multiplicación: si $\, a \cdot c = b \cdot c$ y $\, c$ no es cero, entonces $\, a = b$ .