jueves, 15 de noviembre de 2012
1 Estructura algebraica
En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:
Estructura | Ley interna | Asociatividad | Neutro | Inverso | Conmutatividad |
---|---|---|---|---|---|
Magma | |||||
Semigrupo | |||||
Monoide | |||||
Monoide abeliano | |||||
Grupo | |||||
Grupo abeliano |
Estructura (A,+,·) | (A,+) | (A,·) |
---|---|---|
Semianillo | Monoide abeliano | Monoide |
Anillo | Grupo abeliano | Semigrupo |
Cuerpo | Grupo abeliano | Grupo abeliano |
0 Lenguaje Algebraico
Lenguaje Algebraico | |
Un número cualquiera. | m |
Un número cualquiera aumentado en siete. | m + 7 |
La diferencia de dos números cualesquiera. | f - q |
El doble de un número excedido en cinco. | 2x + 5 |
La división de un número entero entre su antecesor | x/(x-1) |
La mitad de un número. | d/2 |
El cuadrado de un número | y^2 |
La semisuma de dos números | (b+c)/2 |
Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual a 12. | 2/3 (x-5) = 12 |
Tres números naturales consecutivos. | x, x + 1, x + 2. |
La parte mayor de 1200, si la menor es w | 1200 - w |
El cuadrado de un número aumentado en siete. | b2 + 7 |
Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres. | 3/5 p + 1/2 (p+1) = 3 |
El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a 30. | x(x-1) = 30 |
El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. | x3 + 3x2 |
Signos y Símbolos | |
+ | Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias |
c ó k | Expresan Términos constantes |
Primeras letras del abecedario a, b, c,... | Se utilizan para expresar cantidades conocidas |
Últimas letras del abecedario ...,x, y, z | Se utilizan para expresar incógnitas |
n | Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n) |
Exponentes y subíndices | Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud. |
Simbología de Conjuntos | |
{} | conjunto |
∈ | Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto. |
∉ | No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. |
⎜ | Tal que. |
n (C) | Cardinalidad del conjunto C. |
U | Conjunto Universo. |
Φ | Conjunto Vacío. |
⊆ | Subconjunto de. |
⊂ | Subconjunto propio de. |
⊄ | No es subconjunto propio de. |
> | Mayor que. |
< | Menor que. |
≥ | Mayor o igual que. |
≤ | Menor o igual que. |
∩ | Intersección de conjuntos. |
∪ | Unión de Conjuntos. |
A' | Complemento del conjunto A. |
= | Simbolo de igualdad. |
≠ | No es igual a. |
... | El conjunto continúa. |
⇔ | Si y sólo si. |
∼ | No (es falso que). |
∧ | Y |
∨ | O |
2 Leyes del álgebra elemental
Propiedades de las operaciones
- La operación de adición (+)
- se escribe
- es conmutativa:
- es asociativa:
- tiene una operación inversa llamada sustracción: , que es igual a sumar un número negativo,
- tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma:
- La operación de multiplicación (×)
- se escribe ó
- es conmutativa: =
- es asociativa:
- es abreviada por yuxtaposición:
- tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: , que es igual a multiplicar por el recíproco,
- tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:
- es distributiva respecto la adición:
- La operación de potenciación
- se escribe
- es una multiplicación repetida: (n veces)
- no es ni comutativa ni asociativa: en general y
- tiene una operación inversa, llamada logaritmo:
- puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
- es distributiva con respecto a la multiplicación:
- tiene la propiedad:
- tiene la propiedad:
[editar]Orden de las operaciones
Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o precedencia de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.
[editar]Propiedades de la igualdad
La relación de igualdad (=) es:
- reflexiva:
- simétrica: si entonces
- transitiva: si y entonces
[editar]Leyes de la igualdad
La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:
- si y entonces y
- si entonces
- si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
- regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si entonces .
- regularidad condicional de la multiplicación: si y no es cero, entonces .
[editar]Leyes de la desigualdad
La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:
- de transitividad: si y entonces
- si y entonces
- si y entonces
- si y entonces
[editar]Regla de los signos
En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:
Suscribirse a:
Entradas (Atom)