Algebra Básica

jueves, 15 de noviembre de 2012

1 Estructura algebraica

En matemáticas, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

Estructura	Ley interna	Asociatividad	Neutro	Inverso	Conmutatividad
Magma
Semigrupo
Monoide
Monoide abeliano
Grupo
Grupo abeliano

Estructura (A,+,·)	(A,+)	(A,·)
Semianillo	Monoide abeliano	Monoide
Anillo	Grupo abeliano	Semigrupo
Cuerpo	Grupo abeliano	Grupo abeliano

Lenguaje Común	Lenguaje Algebraico
Lenguaje Algebraico
Un número cualquiera.	m
Un número cualquiera aumentado en siete.	m + 7
La diferencia de dos números cualesquiera.	f - q
El doble de un número excedido en cinco.	2x + 5
La división de un número entero entre su antecesor	x/(x-1)
La mitad de un número.	d/2
El cuadrado de un número	y^2
La semisuma de dos números	(b+c)/2
Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es igual a 12.	2/3 (x-5) = 12
Tres números naturales consecutivos.	x, x + 1, x + 2.
La parte mayor de 1200, si la menor es w	1200 - w
El cuadrado de un número aumentado en siete.	b² + 7
Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a tres.	3/5 p + 1/2 (p+1) = 3
El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a 30.	x(x-1) = 30
El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número.	x³ + 3x²

Expresión	Uso
Signos y Símbolos
+	Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k	Expresan Términos constantes
Primeras letras del abecedario a, b, c,...	Se utilizan para expresar cantidades conocidas
Últimas letras del abecedario ...,x, y, z	Se utilizan para expresar incógnitas
n	Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Exponentes y subíndices $a', a'', a'''; a _1, a _2, a _3 \!$	Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.

⁹

Símbolo	Descripción
Simbología de Conjuntos
{}	conjunto
∈	Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto.
∉	No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto.
⎜	Tal que.
n (C)	Cardinalidad del conjunto C.
U	Conjunto Universo.
Φ	Conjunto Vacío.
⊆	Subconjunto de.
⊂	Subconjunto propio de.
⊄	No es subconjunto propio de.
>	Mayor que.
<	Menor que.
≥	Mayor o igual que.
≤	Menor o igual que.
∩	Intersección de conjuntos.
∪	Unión de Conjuntos.
A'	Complemento del conjunto A.
=	Simbolo de igualdad.
≠	No es igual a.
...	El conjunto continúa.
⇔	Si y sólo si.
∼	No (es falso que).
∧	Y
∨	O

Propiedades de las operaciones

La operación de adición (+)
- se escribe $\, a + b$
- es conmutativa: $\, a + b = b + a$
- es asociativa: $\, (a + b) + c = a +(b + c)$
- tiene una operación inversa llamada sustracción: $\, (a + b)- b = a$ , que es igual a sumar un número negativo, $\, a-b = a +(-b)$
- tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma: $\, a + 0 = a$

La operación de multiplicación (×)
- se escribe $\, (a \times b)$ ó $\,( a \cdot b )$
- es conmutativa: $\, (a \cdot b )$ = $\, (b \cdot a)$
- es asociativa: $\, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- es abreviada por yuxtaposición: $a \cdot b \equiv ab$
- tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: $\frac{(ab)}{b} = a$ , que es igual a multiplicar por el recíproco, $\frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right)$
- tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación: $a \times 1 = a$
- es distributiva respecto la adición: $\, (a + b) \cdot c = ac + bc$

La operación de potenciación
- se escribe $\, a^{b}$
- es una multiplicación repetida: $a^{n} = a \times a \times \ldots \times a$ (n veces)
- no es ni comutativa ni asociativa: en general $\, a^{b} \ne b^{a}$ y $\, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})}$
- tiene una operación inversa, llamada logaritmo: $\, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b}$
- puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: $\ a^{m/n} \equiv (\sqrt[n]{a^{m}})$ y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
- es distributiva con respecto a la multiplicación: $\, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$
- tiene la propiedad: $\ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c}$
- tiene la propiedad: $\, (a^{b})^{c} = a^{bc}$

[editar]Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o precedencia de las operaciones. Primero se calcula los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas.

[editar]Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

reflexiva: $\, a = a$
simétrica: si $\, a = b$ entonces $\, b = a$
transitiva: si $\, a = b$ y $\, b = c$ entonces $\, a = c$

[editar]Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

si $\, a = b$ y $\, c = d$ entonces $\, a + c = b + d$ y $\, ac = bd$
si $\,a = b$ entonces $\, a + c = b + c$
si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro.
regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si $\, a + c = b + c$ entonces $\, a = b$ .
regularidad condicional de la multiplicación: si $\, a \cdot c = b \cdot c$ y $\, c$ no es cero, entonces $\, a = b$ .